03 · il registro dello strumento
Il meccanismo
Non serve credere a niente perché una lente metta a fuoco. Serve solo che l'indice di rifrazione sia quello giusto e che le superfici siano curve nel modo giusto.
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La luce si comporta, per quasi tutto ciò che ci serve, come un insieme di raggi che viaggiano in linea retta finché non incontrano qualcosa. Quando lo incontrano, cambiano direzione secondo una regola trovata empiricamente e scritta nel 1621 da Willebrord Snell, e resa celebre da Cartesio:
n₁ sen θ₁ = n₂ sen θ₂
L'angolo si misura rispetto alla perpendicolare alla superficie, e n è un numero che dipende solo dai due mezzi. Niente di più. Da questa riga discendono le lenti, gli occhiali, i telescopi, i microscopi, il prisma, la fibra ottica, i riflessi sull'asfalto bagnato.
- Aria
- n = 1,0003
- Acqua
- n = 1,333
- Vetro crown
- n = 1,52
- Vetro flint
- n = 1,62
- Diamante
- n = 2,42
La parte interessante è che n non è costante. Dipende dalla lunghezza d'onda: il violetto è più lento del rosso dentro il vetro, e quindi si piega di più. Questa piccola differenza, dell'ordine dell'uno per cento, è tutto ciò che serve a Newton per separare i colori con un prisma, e a un obiettivo fotografico per avere bisogno di cinque lenti invece di una.
La lente
Una lente è una superficie calcolata per far convergere raggi paralleli in un punto: il fuoco, a distanza f. Da lì in poi è tutta proporzione. Un oggetto a distanza p forma un'immagine a distanza q con 1/f = 1/p + 1/q, e l'ingrandimento è q/p. La macchina fotografica, l'occhio e il telescopio sono la stessa equazione con numeri diversi.
L'occhio umano è un caso particolarmente onesto: una lente morbida, di focale variabile, che mette a fuoco su una retina di circa 100 milioni di recettori. La pupilla va da 2 a 8 mm — ed è il diametro che decide quanto fine sarà l'immagine.
Il limite
Qui la meccanica incontra il quanto. Nessuno strumento può separare due punti più vicini di un certo angolo, perché la luce che entra in un'apertura circolare di diametro D non forma un punto ma un disco, largo:
θ = 1,22 λ / D
Con una pupilla di 3 mm e un verde da 550 nm, θ vale circa 46 secondi d'arco: la risoluzione dell'occhio è esattamente questa, e non è una coincidenza — l'occhio è costruito al limite di ciò che la sua apertura permette. Un telescopio da 200 mm arriva a 0,69 secondi d'arco, cinquanta volte meglio, e per questo ha potuto vedere le lune di Giove.
Il disco di diffrazione è anche il motivo per cui le stelle brillano invece di mostrarsi come puntini: la luce di un punto, passata da un'apertura, si allarga in un disco con anelli concentrici. Ogni immagine astronomica porta la firma dell'apertura che l'ha fatta.
Il colore del cielo
La stessa regola spiega una cosa che vediamo tutti i giorni e non abbiamo mai calcolato. Le molecole dell'aria sono molto più piccole della lunghezza d'onda della luce, e diffondono con un'efficienza proporzionale a 1/λ⁴. Tra il blu a 450 nm e il rosso a 650 nm il rapporto è:
(650/450)⁴ ≈ 4,35
Il blu viene diffuso quattro volte più del rosso, in tutte le direzioni: il cielo è il blu che è stato tolto al raggio di sole. Al tramonto il raggio attraversa un'atmosfera più spessa, il blu è già stato sparso via, e resta il rosso. Non c'è nulla di poetico in questo: è la stessa equazione del prisma, applicata a una molecola invece che a un vetro.
Le unità, che servono
La luce si misura in modi che confondono perché misurano cose diverse. La candela è l'intensità in una direzione: una sorgente che emette una certa potenza per steradiante. Il lumen è la candela moltiplicata per l'angolo solido: il flusso totale. Il lux è il lumen per metro quadrato: quanto arriva su una superficie. Il nit è la candela per metro quadrato: quanto è brillante una superficie.
- Candela
- intensità in una direzione · 1 cd = 1/683 W/sr a 540 THz
- Lumen
- flusso totale · 1 lm = 1 cd·sr
- Lux
- illuminamento · 1 lx = 1 lm/m²
- Nit
- luminanza · 1 nt = 1 cd/m²
- Giorno sereno
- 10 000 – 100 000 lx
- Ufficio ben illuminato
- 500 lx
- Notte di luna piena
- 0,1 – 0,3 lx
Un foglio bianco al sole e un foglio bianco sotto una lampada possono avere la stessa luminanza apparente e illuminamenti diversi di mille volte: l'occhio si adatta, e l'adattamento è il motivo per cui le fotografie fatte a occhio vengono sbagliate.
Nessun raggio è davvero un raggio: è un'onda che si propaga, e ogni ostacolo la costringe a diffrangere. Il «limite di risoluzione» è il prezzo che la natura fa pagare a chi vuole localizzare un fotone.
Lo strumento è il modo in cui l'occhio si è esteso: la lente del microscopio e la lente del cannocchiale di Galileo sono lo stesso gesto, ripetuto per vedere più vicino e più lontano.
Tre regole — Snell, la dispersione, la diffrazione — bastano a progettare tutto. E le tavole di questo sito sono queste tre regole eseguite al computer.